망원경 차폐 형상에 따른 회절링의 광량 분포(1)

이 글은 렌즈의 회절 이론을 숙지한 상태이고, 렌즈의 기본 물성치(굴절율, 분해능, 수차 등)을 이해한 분들을 대상으로 적습니다. 또 지난 번에 문병화씨와 차안에서 얘기했던 화제의 답변이기도 합니다만, 어디서부터 실마리를 풀어야될지, 내용을 추가, 보완해야될지, 또는 생략해야될지를 몰라서 일단 제가 생각한 순서대로 적습니다.  

1. 무차폐 반사 망원경
무차폐 반사 망원경을 아시나요? 여기서부터 얘기는 시작 됩니다. 문병화님의 이야기를 들어보면 아래와 같은 망원경을 무차폐 반사 망원경이라고 하는 것같습니다. 8인치 무차폐 반사 망원경을 제작하려면

위의 그림처럼 18인치 F수 4의 미러를 가공합니다.

초점길이 = 18인치 X 4 = 72인치(1828mm)

인 미러가 완성될 것입니다. 이 미러를 제일 긴 끝단 길이가 8인치 정도 되도록 ‘쪼가리미러’로 자릅니다. 위의 그림은 설명의 편의를 위해 대충 그렸습니다만 실제로는 3쪼가리 정도가 나온다고합니다. 이 쪼가리미러의 원래 족보는 18인치였으므로 모든 물성치는 18인치의 지배를 받게 됩니다. 따러서 부경의 중심도 18인치 미러 중심이 될 것입니다. 이 미러를 가지고 반사망원경을 만든다면 부경은 18인치 중심에 있게 되고, 미러는 쪼가리가 되었으므로 부경 옆으로 쳐지게 위치해야됩니다. 이러면 부경의 차폐가 없는 8인치 초점거리 1828mm의 ‘무차폐 반사 망원경’이 되는 것입니다.

눈감고 아옹하는 격이지만 무차폐인 것은 맞고 실제로 이렇게 생산하는 메이커도 있다는군요. 그렇다면 이런 제품을 왜 생산할까요? 여기서 의문은 시작되었습니다.

1)18인치 하나 만들어 잘 자르면 8인치 무차폐 미러를 4개(or 3개)나 만들 수 있으므로 코스트면에서 유리하다? --->이건 장담을 못하겠습니다.
2)아마도 오리지날 8인치보다 시잉 영향을 덜 받을 것이다.--->이것도 과학적인 근거가 희박하다고 보여집니다.
3)이 쪼가리 미러의 오리지날 족보는 18인치 미러이므로 18인치 대구경 만큼의 분해능향상 효과가 있을 것이므로 오리지날 8인치보다는 화질이 좋을 것이다.--->이건 좀 타당하게 들리기도 합니다.    

만약 무차폐 8인치가 오리지날 8인치보다 분해능의 향상이 있더라도 회절링 광량분포를 따져보지 않으면 안됩니다. 무차폐 8인치라는 것은 18인치 미러를 모두 차폐하고 8인치만 면적만 남겨둔 형태이기 때문입니다. 차폐율이 50%를 훨씬 넘어버린데다 그 형태도 원형 차폐가 아니고 이상한 모양의 차폐입니다.  

반사망원경에서 차폐율이 40%가 넘어가면 저해상도 영역의 콘트라스트는 급격히 떨어집니다. 콘트라스트는 회절상의 광량분포와 밀접한 관계가 있습니다. 18인치 쪼가리미러가 콘트라스트가 확 떨어지더라도 8인치 오리지날 미러 보다는 낫다? 즉 '썩어도 준치다'라는 뜻일까요?

2. 차폐에 따른 회절링 광량 분포와 모양은?  
차폐를 하더라도 동일 구경이라면 회절링의 크기(직경)은 변하지 않습니다. 그러나 상점 중심(에어리디스크)과 그 주변 밝은 회절링의 광량 분포는 변합니다. 각 회절링(제1, 2, 3... 극대 밝기값)에서의 광량밝기가 계산된다면 무차폐반사망원경의 성능도 추정될 수 있을 것입니다. 이것을 더 응용하면

1)기존의 슈미트카세 11인치(or 14인치)을 강제로 차폐 칸막이로 막았을 때의 화질은 좋아질 것인가? 나빠 질것인가?
2)차폐 형상(사각 차폐, 원형 차폐 등)에 따른 회절링 형상은 어떻게 될까?
등도 추정해 볼 수 있습니다.  


3. 회절링과 광량 분포의 이론식
(1)프레넬-키르호프식
광량분포의 이론식은 에너지개념으로 풀이한 것이므로 대단히 복잡합니다. 지난 2월 24일 ‘회원카페’란에 적었던 ‘Star Testing Astronomical Telescope'에 나오는 프레넬-키러호프식(Fresnel-Kirchhoff formular)가 기본 공식이 됩니다.

*뉴턴: 빛의 입자설
*호이겐스: 빛의 파동설
*프레넬: 호이겐스의 이론에 ‘간섭’을 추가함
*키르호프: 호이겐스-프레넬 이론의 수학적 기초식을 세움

윗 식은 U(x', y')라는 중간함수를 말하는데 이 식에는 빛이 렌즈를 지나던 아니면 그냥 지나던 어떤 필드를 지날 때 가질 수 있는 모든 변수(variable)를 다 넣어줍니다. 렌즈 구경, 빛의 위상각도(phase), 여러 수차들, 호이겐스 회절식, 빛의 이동 각도 등입니다.
*광원에서 나온 빛이 차폐판 A에 의해서 일부는 차폐되고 일부는 통과할 경우 경우임

위식은 피사체의 한광원에서 나온 빛을 상면의 밝기로 수식화시킬 수 있다는 의미입니다.  이 식을 풀려면 시간이 ‘엄청나게(a great deal of time)’ 걸린다고 이 교재는 적고 있습니다. 이 식은 피사체의 선명한 광원이 망원경의 회절, 차폐, 수차에 의해서 어떻게 상면에서 희미한 디스크로 되는지를 이론적으로 알 수 있게 해주고 그 비율도 알 수 있게 해줍니다.

(2)프라운호퍼회절(Fraunhoffer diffractiton) 회절과 프레넬회절(Fresnel diffractiton)

*상면에서 맺어진 광파의 진폭을 U(p)라고 할 경우의 식이다.
*실제로 상면에 나타나는 것은 빛의 강도이므로 ‘빛의 강도 = 절대값 진폭^2’이 된다.
*e^ik(r+s) = e^2phi(r+s)/람다 함수는 r+s가 파장 람다만큼 변화는 하는 것으로 복소수평면상에서 원점을 한번 회전할 때의 주기함수이다.

e^ik(r+s) = (cosik(r+s) + isin(ik(r+s))

*r+s값은 람다의 몇천배 몇 만배나 회전할 것이므로 적분중에 이 함수는 -1과 1 사이를 몇천번 몇만번이나 진동하는 것이 된다(r+s의 값이 파장 람다만큼 변하는 것이 되므로 +1-->-1-->+1로 1회 진동) 따라서 이 식을 수치적분하면 계산 방법을 이 사항을 충분히 고려하지 않으면 계산 결과가 오차에 묻혀버린다. 이 것을 회피하기 위한 방법으로 r, s를 급수전개한다.

*위의 식은 아직 렌즈가 고려되지 않은 일반 개구부임

여기서 천체망원경의 경우는

*(B-6)식이 천체망원경의 초점면에서의 회절식이다.

개구부 형상(차폐)에 따른 윗 식 방식의 계산 예는 다음에 적겠습니다.
To be continued....