망원경의 배율은 어떤 목표물을 망원경으로 볼 때의 각크기가 맨눈으로 볼 때의 각크기보다 몇 배로 커지는가로 정의됩니다. 엄밀하게는, 동일한 망원경을 이용하더라도 대물렌즈에 들어오는 입사각에 따라 배율이 달라지지만, 일반적으로 말하는 망원경의 배율은 망원경의 광축상에 있는, 즉, 입사각이 제로근처에 있는 목표물에 대한 배율을 의미합니다.
이 때 망원경의 배율을 구하는 가장 일반적인 공식은 잘 아시는 대로 다음과 같습니다.
배율 = f1 / f2 ...(1)
(여기에서, f1=대물렌즈의 초점거리, f2=접안렌즈의 초점거리)
그런데 공식 (1)이 사실은 무한대의 거리에 있는 (또는 상당히 먼 거리에 있는) 목표물에 대해서만 유효한 것입니다. 천체망원경은 보통 천체를 관찰하는데 쓰이기 때문에 천체망원경의 배율은 공식 (1)로 구해도 아무 문제가 없습니다.
그러나 천체망원경이라고 할지라도 근거리의 목표물을 관찰할 때 공식 (1)의 배율은 근사적으로만 맞을 뿐이고 좀 더 정확한 배율 공식은 다음과 같습니다. (유도는 아주 어려운 수학은 아니지만, 너무 길어지고 무의미하므로 생략합니다)
배율 = b / f2 ...(2)
(여기에서, b=대물렌즈에 의한 실상과 대물렌즈와의 거리)
천체를 관측할 때는 대물렌즈에 의한 실상이 대물렌즈의 초점에 맺히기 때문에(즉, b=f1) (1)식과 (2)식은 같은 식이 되지만, 근거리의 목표물을 볼 때는 실상이 대물렌즈의 초점보다 먼 곳에 위치하기 때문에 실제배율이 (1)식보다 커지게 됩니다. 따라서,
“근거리의 물체를 볼 때는 원거리의 물체를 볼 때보다 망원경의 배율이 증가한다”
가 성립합니다.
(2)식에서 분자에 있는 (대물렌즈와 대물렌즈에 의한 실상과의 거리)를 구하는 방법은 그 망원경으로 별을 볼 때보다 근거리 목표물을 볼 때 접안렌즈가 얼마나 뒤로 빠지는가를 구해서 대물렌즈의 초점거리에 더해주면 됩니다.
한편 (2)식과 동치의 식으로 다음의 (3)식과 (4)식은 어렵지 않게 유도할 수 있습니다.
배율 = (f1 / f2) * {1/ (1-f1/a)} ...(3)
(여기에서, a=목표물과 대물렌즈 사이의 거리)
배율 = (대물렌즈의 지름) / (사출동공의 크기) ...(4)
이렇게 보면 식(1)은 식(3)에서 {1/ (1-f1/a)}의 요소가 빠진 식인데요, 천체를 볼 때는 a를 무한대로 간주할 수 있으므로 두 식이 같아지는 거지요.
한편, 식(3)와 (4)에서 목표물이 가까워질수록 배율이 증가하므로 사출동공의 크기가 작아지게 된다는 것을 알 수 있습니다. 이 사실은 간단한 작도만으로도 쉽게 확인할 수 있지요.
예를 들어, 대물렌즈 구경 100mm, 초점거리 500mm인 망원경에 초점거리가 10mm인 접안렌즈를 있다고 합시다.
이 망원경으로 별을 볼 때는
배율은 500/10=50배
사출동공 크기는 100/50=2mm
가 됩니다.
그런데 이 망원경으로 20m(=20,000mm) 앞의 목표물을 본다면
배율은 (500/10)*{1/(1-500/20,000)}=51.28
사출동공 크기= 100/51.28=1.95mm
로 되어 배율은 약간 증가하고 사출동공 크기는 약간 작아지네요.
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이 때 망원경의 배율을 구하는 가장 일반적인 공식은 잘 아시는 대로 다음과 같습니다.
배율 = f1 / f2 ...(1)
(여기에서, f1=대물렌즈의 초점거리, f2=접안렌즈의 초점거리)
그런데 공식 (1)이 사실은 무한대의 거리에 있는 (또는 상당히 먼 거리에 있는) 목표물에 대해서만 유효한 것입니다. 천체망원경은 보통 천체를 관찰하는데 쓰이기 때문에 천체망원경의 배율은 공식 (1)로 구해도 아무 문제가 없습니다.
그러나 천체망원경이라고 할지라도 근거리의 목표물을 관찰할 때 공식 (1)의 배율은 근사적으로만 맞을 뿐이고 좀 더 정확한 배율 공식은 다음과 같습니다. (유도는 아주 어려운 수학은 아니지만, 너무 길어지고 무의미하므로 생략합니다)
배율 = b / f2 ...(2)
(여기에서, b=대물렌즈에 의한 실상과 대물렌즈와의 거리)
천체를 관측할 때는 대물렌즈에 의한 실상이 대물렌즈의 초점에 맺히기 때문에(즉, b=f1) (1)식과 (2)식은 같은 식이 되지만, 근거리의 목표물을 볼 때는 실상이 대물렌즈의 초점보다 먼 곳에 위치하기 때문에 실제배율이 (1)식보다 커지게 됩니다. 따라서,
“근거리의 물체를 볼 때는 원거리의 물체를 볼 때보다 망원경의 배율이 증가한다”
가 성립합니다.
(2)식에서 분자에 있는 (대물렌즈와 대물렌즈에 의한 실상과의 거리)를 구하는 방법은 그 망원경으로 별을 볼 때보다 근거리 목표물을 볼 때 접안렌즈가 얼마나 뒤로 빠지는가를 구해서 대물렌즈의 초점거리에 더해주면 됩니다.
한편 (2)식과 동치의 식으로 다음의 (3)식과 (4)식은 어렵지 않게 유도할 수 있습니다.
배율 = (f1 / f2) * {1/ (1-f1/a)} ...(3)
(여기에서, a=목표물과 대물렌즈 사이의 거리)
배율 = (대물렌즈의 지름) / (사출동공의 크기) ...(4)
이렇게 보면 식(1)은 식(3)에서 {1/ (1-f1/a)}의 요소가 빠진 식인데요, 천체를 볼 때는 a를 무한대로 간주할 수 있으므로 두 식이 같아지는 거지요.
한편, 식(3)와 (4)에서 목표물이 가까워질수록 배율이 증가하므로 사출동공의 크기가 작아지게 된다는 것을 알 수 있습니다. 이 사실은 간단한 작도만으로도 쉽게 확인할 수 있지요.
예를 들어, 대물렌즈 구경 100mm, 초점거리 500mm인 망원경에 초점거리가 10mm인 접안렌즈를 있다고 합시다.
이 망원경으로 별을 볼 때는
배율은 500/10=50배
사출동공 크기는 100/50=2mm
가 됩니다.
그런데 이 망원경으로 20m(=20,000mm) 앞의 목표물을 본다면
배율은 (500/10)*{1/(1-500/20,000)}=51.28
사출동공 크기= 100/51.28=1.95mm
로 되어 배율은 약간 증가하고 사출동공 크기는 약간 작아지네요.
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