물속 동전 떠보기를 기하학적 풀이 사례 정리

요 아래 황교수님 동전 떠보기의 보완 설명입니다. 지난 주에는 제가 지독한 감기몸살로 고생을 좀 했습니다만 토요일 문병화씨를 따라 천문인마을로 별을 보고 와서 씻은 듯이 나았습니다. 그래서 오늘은 추운 베란다로 나가서 물리에 관계되는 여러 책을 찾아서 펼쳤습니다. 지난 주에는 베란다에 나갈려고 생각도 안했지요. 동전 떠보기를 도형으로 풀이한 사례 2건을 찾았습니다. 도형 동전 떠보기 정리의 의미에서 소개합니다.

안타깝게도 저는 국내 교재를 가지고 있지 않습니다. 호준님이 가지고 계시다면 한번 비교해보십시요. 제 생각은 황교수님 말씀처럼 우리 책이 그 뉘앙스에서 약간 혼란을 가져오도록 기술한 곳이 있을 가능성이 있다고 생각합니다. 저는 그런 실례를 겪었기 때문에 잘 압니다. 과거 대학 교양화학책을 구입했는데 책은 500페이지 가량으로 두꺼웠습니다만 전지편을 보다가 용어에서부터 헷갈리게 적어놔서 짜증이 나서 던져버렸습니다. 그 기분 안 당해 본 사람은 모르지요. 표준전위부터 헷갈리기 시작하니 죽겠습디다. 정말 책 적는 사람은 방대한 이론과 경험을 바탕으로 단어 하나하나에도 촌철살인(寸鐵殺人)의 정신으로 집중하여 고객에게 전달하는다는 심정으로 적어야합니다. 제가 떠보이기 예제 그림으로 올린 캐드 그림은 렌즈 연구자인 토우쿠대학교 명예교수인 요시다 쇼타로씨가 적은 광학기기대전에서 인용했는데, 요시타씨는 이 교재의 머리말에서 인용된 그림 모두는 실제 설계에서 사용된 공학적인 자료를 그대로 인용했다고 적고 있습니다. 과학에서 정확성은 아주 중요하지요.
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그럼 설명들어갑니다. 일단 황교수님의 수식에 의한 풀이 방법은 확실하다고 생각합니다. 계산과정에서 원초적인 실수를 제외한다면 말이지요. 계산 과정에서 실수의 가능성은 두직선의 교점을 구하는 방정식 하나뿐인데(나머지는 복잡하지 않고 설명되어 있으므로 통과!) 이게 복잡하긴 하지만 황교수님께서 실수하실 가능성은 거의 없을겁니다.. 답이 바르게 나왔고 수학교수님이라서 더욱더 실수가 없겠지요. 저도 교점을 한번 구해보려고 계산하다가 복잡해서 그만두었는데 황교수님께서는 행열로 푸신지도 모르겠습니다.  

윗 그림 예제 1, 2는 그림 모양은 같지만 적용하는 논리는 완전히 다릅니다.

예제 1은 동전의 상 맺히는 점이 B점이라고 고정하는 것이 아닙니다. 그냥 직선 AE와 수직선이 만나는 B점 부근에서 상이 맺힐 것이다라는 것을 ‘예상’하고 풀이하는 것입니다. 그러므로 A, O 점에서 수직선은 평행선이므로 그 아래식이 성립합니다. 이 때 눈을 수직선으로 이동하면 그 아래 아래식이 성립하고 최종식은 OB~=h/n이 나오게 됩니다. 그런데 이게 알고보니 떠보이기 위치가 될 수밖에 없다 이런 방법의 추리입니다. 수학에서 이런 것이 가능한지는 모르겠군요. 이 때는 OB가 h/n이 된다는 것은 증명할 수는 없고 OB가 h/n에 근사적으로 일치한다는 것만 확인할 수 있습니다. 이럴 때는 굴절각이 미소각이라는 표현을 사용할 필요가 없겠지요. 그냥 임의 각도(전반사가 안 일어나는 범위)에서 작도를 해도 추리가 가능합니다.


예제2는 예제1과 그림은 비슷하나 풀이 방법은 좀 다릅니다. 예제 2에서는 굴절각이 ‘미소각도’라는 단서가 들어갑니다. 이럴 때 A'점에서 상이 맺힌다는 것을 가지고 풀이합니다. 이러면 d=D/n이 성립합니다.

예제1과 2의 차이점이라면 1은 떠보이기 높이 값이 근사적으로 나오는 것이고 2는 그대로 나오는 차이라고 생각합니다. 수학적으로 풀어보면 극한값은 동일하게 나오더라도 기하학적인 풀이에서는 미묘한 차이를 말해주는 것이라 생각합니다. 저도 이 점은 추가로 확인은 어렵군요.  

우리 교과서에서는 어떻게 풀이하고 있는지 궁금합니다.