아이피스 시야링의 직경

모 천문 까페에서 다음과 같은 논쟁이 벌어졌는데,
사실이 무엇인지 궁금하다고 제게 문의하신 분이 있어서 답변 드립니다.

초점거리 25미리, 시야각 80도인 아이피스의 이미지 써클의 지름을 D라고 하면,
D를 구하는 공식으로 다음의 두 가지 중에서 어느 게 맞느냐는 거지요.

1) D = 25 * 80 * 3.14 / 180 = 34.9mm
2) D = 25 * 2 * tan(80/2) = 42.0mm

결론적으로 말씀드리면, 1)번이 맞습니다.

(주의1 : 이미지 써클의 지름이라면 아이피스의 초점위치에 있는 시야링의 직경을 의미합니다)
(주의2: 이 공식은 나글러나 XW와 같이 시야링이 아이피스 렌즈들의 사이에 있는 경우는 적용되지 않습니다)

이건 다음과 같이 수식으로 간단하게 설명되기 때문에 논쟁의 여지가 없지요.

이 아이피스를 초점거리 4,000mm인 망원경에 장착하고 시직경 0.5도인 보름달을 관측한다고 합시다.
그러면 이때의 배율은 4000/25 = 160배가 되겠네요.
시야각 0.5도인 보름달이 160배로 확대되면 0.5*160=80(도)로 보이겠군요.
우연히도 80도는 아이피스의 겉보기 시야각이므로, 아이피스로 본 달은 시야에 정확하게 꽉 차게 보이는군요!..^^

즉, 주 망원경에 의하여 생긴 상이 아이피스의 시야링에 꼭 맞게 찼다는 뜻입니다.
그러므로 이 경우에 주 망원경에 의한 달의 상의 크기와 아이피스 시야링의 크기는 일치합니다.

이 경우 주 망원경에 의한 달의 상의 크기는 4,000 * 0.5 * 3.14 / 180 = 34.9mm 로 계산되는데요,
식이나 결과가 1)식과 똑같다는 것을 알 수 있습니다.  

혹자는 주 망원경에 의한 달의 상의 크기가 4,000 * 2 * tan (0.5/2) = 34.9mm
로 계산해야 하는 거 아니냐고 생각할지도 모르지만, 그렇다고 해도 그 결과는 동일합니다.
(사실 그 결과는 동일하지만, 이것도 전자가 옳다는 것을 증명할 수 있습니다. 증명은 생략)

결론적으로, 다음과 같이 정리합니다.

초점거리 f, 겉보기시야각 A 인 아이피스의 시야링의 직경 D는 다음과 같다.
      D = f * A * pi /180 = 0.01745 * f * A

이로 미루어, 초점거리 40mm, 겉보기시야각이 50도인 31.7mm 경 아이피스는 존재할 수 없다는 것을 알 수 있습니다.
왜냐하면 그 아이피스의 시야링이 40*50*0.01745=34.9mm 로 외경 31.7mm 보다 크기 때문이죠.